Erhöhung der Strahlstabilitätszone in Synchrotronlichtquellen unter Verwendung von Polynomquasi

Wissenschaftliche Berichte Band 13, Artikelnummer: 1335 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Ziel dieses Artikels ist es, ein Schema zur Erhöhung der Stabilitätszone eines Strahls geladener Teilchen in Synchrotrons unter Verwendung einer geeigneten Zielfunktion vorzuschlagen, die bei Optimierung das Einsetzen von Resonanzen im Phasenraum und die dynamische Apertur von Elektronen in Speicherringen hemmt verbessert. Die vorgeschlagene Technik wird implementiert, indem eine Quasi-Invariante in einer Umgebung des Ursprungs des Phasenraums konstruiert wird. Anschließend werden mithilfe symbolischer Berechnungssoftware Sätze gekoppelter Differentialgleichungen für Funktionen erhalten, die an der nichtlinearen Dynamik beteiligt sind, und numerisch mit periodischen Randbedingungen gelöst . Die Zielfunktion wird konstruiert, indem vorgeschlagen wird, dass sich der innerste Impulslösungszweig der quasiinvarianten Polynomform der entsprechenden Ellipse der linearen Dynamik annähert. Mithilfe eines genetischen Algorithmus wird die Objektivfunktion optimiert, wodurch die dynamische Apertur erhöht werden kann. Die Qualität der mit diesem Schema erzielten Ergebnisse wird mit Partikelverfolgungssimulationen verglichen, die mit vor Ort verfügbarer Software durchgeführt wurden, und zeigt eine gute Übereinstimmung. Das Schema wird auf ein Synchrotron-Lichtquellenmodell angewendet, das aufgrund seiner Emission der dritten Generation zugeordnet werden kann.

Heutzutage stellt das Design von Speicherringen von Synchrotronlichtquellen eine große Herausforderung dar, vor allem weil die dynamische Apertur durch nichtlineare Eigenschaften des Gitters reduziert wird. In der ersten Entwurfsphase werden magnetische Dipole und Quadrupole verwendet, um ein lineares achromatisches Gitter1 mit einer vorgegebenen Emittanz zu erzeugen. Der zweite Schritt beinhaltet die Einführung magnetischer Sextupole und bei Bedarf Oktupole, die die Dynamik von linear in nichtlinear umwandeln und neue Phänomene erzeugen, die, wenn sie nicht kontrolliert werden, zu Instabilitätsquellen des Elektronenstrahls führen. In einem solchen Fall könnte die Brillanz der Synchrotronstrahlung beeinträchtigt werden, was Auswirkungen auf die laufenden Experimente der technologischen, Grundlagen- und angewandten wissenschaftlichen Forschung haben könnte2.

Beim Betrieb einer Synchrotron-Lichtquelle können mehrere hundert Elektronenpakete über den Ring verteilt sein. Die Bündel bewegen sich in einem Metallrohr unter sehr hohen Vakuumbedingungen, wodurch Kollisionen mit Gasmolekülen minimiert werden. Das Rohr verläuft durch die Mitte aller Magnete. Die Elektronenpakete müssen durch Wechselwirkung mit magnetischen Kräften stabilisiert werden, die von mehreren magnetischen Multipolen bereitgestellt werden. Im Betrieb muss diese Stabilität über mehrere Stunden gewährleistet sein.

Bei der Suche nach einem guten Design ist es notwendig, die unterschiedlichen Längen aller Magnete, ihre Feldstärken (letztere werden durch die Funktionen \(b_1(s)\), \(b_2(s)\) und \ zu optimieren. (b_3(s)\), die stückweise konstante Funktionen sind, wie in Abb. 1 dargestellt), sowie die Längen der Freiräume dazwischen, die sogenannten Drifträume. Normalerweise verleiht dieser Prozess dem Ring eine physikalische Struktur, die auf einer periodischen Anordnung magnetischer Zellen basiert, wie in Abb. 2 dargestellt. Der Prozess strebt nach einer Anordnung dieser Magnete, die es den Elektronen ermöglicht, stabile Flugbahnen zu beschreiben und sich mit Geschwindigkeiten nahe der Geschwindigkeit von fortzubewegen Licht.

Bei der ständigen Suche nach einer Reduzierung der Emission neuer Synchrotrons ist der Einsatz immer intensiverer magnetischer Quadrupole erforderlich, was zu deutlicheren chromatischen Effekten führt. Um diese Effekte zu korrigieren, ist die Verwendung von magnetischen Sextupolen hoher Intensität (chromatisch) und Multipolen höherer Ordnung erforderlich. Eine andere Art von Sextupolen, sogenannte geometrische, wird hinzugefügt, um unerwünschte Effekte zu korrigieren, die durch chromatische Sextupole verursacht werden, um die dynamische Apertur zu verbessern. Je intensiver die Sextupole und Multipole höherer Ordnung sind, desto schwieriger ist es, die dynamische Stabilität unter Kontrolle zu halten. Auf dieser Ebene besteht das im Designprozess zu lösende Problem darin, die Sextupolfamilien anzupassen, um gleichzeitig sowohl die dynamische Apertur als auch die Momentenapertur zu maximieren. Darüber hinaus steigt die Komplexität, wenn andere Arten wichtiger Variablen in die Optimierung einbezogen werden3. Letztendlich müssen die Ringdesigns robust gegenüber Nichtlinearitäten sein, seien sie beabsichtigt wie Sextupole oder unbeabsichtigt wie Fehler und Unvollkommenheiten im Feld der Magnete. Die herkömmliche Methode zur Durchführung dieser Anpassungen besteht darin, viele Resonanzterme zu minimieren4,5. Diese Ergebnisse werden dann mit einer Partikelverfolgungssimulation validiert6,7. Darüber hinaus ist es üblich, ergänzende Tools wie die Frequenzkartenanalyse8 zu verwenden, um ein besseres Bild der Tunediffusions- und Resonanzstrukturen zu erhalten. Andere effektive Optimierungsmethoden, die sehr rechenintensiv sind9, berechnen die dynamische Apertur direkt mittels Partikelverfolgung10,11,12,13, einschließlich der Berechnung resonanter Terme, falls erforderlich14. Nichtlineare Systeme mit großer Komplexität in ihren analytischen Auflösungsverfahren veranlassten einige Autoren, neuartige Methoden zu analysieren und zu entwickeln, um sie numerisch zu behandeln12,13. Einige dieser Methoden basieren auf hochpräzisen Beschreibungsverfahren6,7. Darüber hinaus hat der Bedarf an Maschinen mit besserer Leistung Forscher dazu motiviert, neue Lösungen vorzuschlagen, wie etwa integrierbare Beschleuniger15,16,17, bei denen die Magnetfelder so moduliert werden, dass Bewegungsintegrale erreicht werden.

Es wurde auch vorgeschlagen, dass gemittelte Invarianten nützlich sein könnten, um die vollständig gekoppelte Dynamik über eine einzelne Synchrotronschwingung zu analysieren18. Es gibt auch Vorschläge für die Verwendung von Näherungsinvarianten (oder Quasi-Invarianten)19,20,21,22, um das Verständnis der nichtlinearen Dynamik in Synchrotrons voranzutreiben. Einige dieser Vorschläge nutzen die Partikelverfolgung, um das System annähernd integrierbar zu machen20.

Ein anderer vorgeschlagener Weg zur Einführung ungefährer Invarianten23,24,25, der sich auf die Beschreibung des Phasenraums von designfreundlichen Synchrotrons (z. B. eines Boosters) konzentriert, scheint geeignet, Resonanzen zu beschreiben, die im transversalen Phasenraum des Synchrotrons auftreten. Diese Ideen wurden bis vor kurzem noch nicht umfassend erforscht, als eine Erweiterung dieses Formalismus auf ein Polynom 5. Grades auf ein Polynom 3. Grades angewendet wurde. Generation Lichtquelle26. Unser Ziel ist es, gegenüber dem, was in den Referenzen23,24,25,26 dargelegt wurde, einen Schritt weiter zu gehen und Inhalte und Konzepte bereitzustellen, die nützlich sein können, um nichtlineare Prozesse in Synchrotrons zu verstehen und die Leistung des Synchrotron-Designs zu verbessern. Nun wird dieser Formalismus verwendet, um einen Algorithmus zur Erforschung und Manipulation des Phasenraums dieser Systeme zu entwickeln, der sich auf die Vergrößerung der dynamischen Apertur dynamisch komplexerer Synchrotrons konzentriert. In diesem Artikel werden eine Zielfunktion und ein darauf basierendes Optimierungsschema vorgeschlagen, um die dynamische Apertur einer Synchrotronlichtquelle zu maximieren. Obwohl die Optimierung der dynamischen Apertur dieser Systeme unter Verwendung von Quasi-Invarianten bereits zuvor behandelt wurde20, verfolgt die vorliegende Arbeit einen anderen Ansatz und eine andere Methodik. Während Ref.20 Partikelverfolgung verwendet, um das System quasi-integrierbar zu machen, schlägt die vorliegende Arbeit die Suche nach einer begrenzten Stabilitätszone mithilfe einer Zielfunktion vor, wodurch der Phasenraum des nichtlinearen Systems gezwungen wird, dem linearen zu ähneln. Dies basiert auf der Bestimmung der Wurzeln eines quasiinvarianten Polynoms, ohne Partikelverfolgung zu verwenden oder die Resonanzterme zu berücksichtigen. Soweit uns bekannt ist, wurde dieser Ansatz bisher noch nicht angewendet. Darüber hinaus bietet dieser Vorschlag den Vorteil, dass bei einer gegebenen Näherungsordnung lokal die Möglichkeit berücksichtigt wird, den Resonanzbeginn zu verhindern. Es wird gezeigt, dass robuste Ergebnisse erzielt werden, wenn die Amplitude der Schwingungen zunimmt und die Impulsdispersion berücksichtigt wird. Auf diese Weise wird gezeigt, dass die vorgeschlagene, auf Quasi-Invarianten basierende Methode ein nützliches Werkzeug sein kann, um die dynamische Apertur des Elektronenstrahls in einer Synchrotron-Lichtquelle zu erhöhen. Partikelverfolgungsmethoden (wie die von OPA verwendete) wurden in der vorliegenden Arbeit nur zu Vergleichszwecken verwendet und zeigten eine gute Übereinstimmung mit den erzielten Ergebnissen. In dieser Arbeit wurde ein eindimensionales Problem behandelt, das jedoch problemlos auf 2D erweitert werden kann. Diese Methode bietet eine andere Strategie, um das Problem der Optimierung der Dynamik dieser Systeme anzugehen und den Entwurf neuer hochmoderner Synchrotronlichtquellen zu erleichtern.

Referenzen23,24,25 beschreiben eine Methode zur Erweiterung der linearen theoretischen Struktur auf den nichtlinearen Fall bei der Untersuchung der Synchrotrondynamik. Dort wird die Existenz nichtlinearer Funktionen vorgeschlagen, die eine ähnliche Rolle spielen wie die im linearen Fall verwendeten Funktionen \( \alpha \), \( \beta \) und \( \gamma \)27. Mit diesen nichtlinearen Funktionen können Quasi-Invarianten mit Gültigkeit in einem lokalen Bereich des Phasenraums ermittelt werden.

Das Interesse am Quasi-Invarianten-Formalismus hält an18, da er beim Entwurf moderner Teilchenbeschleuniger28,29 hilfreich sein könnte, wo die Auswirkungen nichtlinearer Dynamik immer wichtiger werden und die Implementierung jedes Entwurfs komplexer werden. Die Reduzierung dieser Effekte kann dazu beitragen, Lichtquellen mit Emissionsgraden zu haben, die eine bessere Qualität und bessere Eigenschaften des emittierten Lichts bieten, Verbesserungen, die für modernste experimentelle Techniken in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft sehr nützlich sind.

Da es in der Synchrotrondynamik drei physikalische Variablen gibt, ist der Phasenraum dieses Systems sechsdimensional. Langfristig ist es daher unser Ziel, eine komplexere Struktur als die hier dargestellte anzugehen. Die Entwicklung einer allgemeineren Formulierung zur Bewältigung dieser Komplexität ist jedoch nicht trivial, daher ist es sehr wichtig, in kleinen, aber festen Schritten vorzugehen. Auf diese Weise ist eine eindimensionale Näherung sehr nützlich für ein tiefes Verständnis dynamischer Probleme von Beschleunigern in niedrigeren Dimensionen. Ähnliche Ansätze finden sich in den Referenzen30,31,32.

In Anlehnung an die Struktur einer früheren Arbeit26 und zur Vollständigkeit dieser Arbeit kann man eine eindimensionale lineare Bewegung betrachten, bei der der Hamilton-Operator die Form hat

wobei (\(x,p_x\)) kanonische konjugierte Variablen sind, \( K (s) = K (s + c) \) eine periodische Funktion von s mit der Periode c ist und die Intensität der magnetischen Quadrupole von darstellt Der Speicherring. Die rote stückweise konstante Funktion in Abb. 1 hängt mit der Funktion K(s) zusammen. Dieses System hat die Invariante

wobei \( \alpha _x(s)\), \( \beta _x(s) \) und \( \gamma _x(s)\) die periodischen Courant-Snyder-Funktionen sind, ebenfalls mit Periode c27.

Wie Referenz 23 zeigt, kann die obige Beschreibung auf den durch den Hamilton-Operator beschriebenen eindimensionalen nichtlinearen Fall erweitert werden

In Referenz23 wird vorgeschlagen, dass dieses System eine ungefähre Invariante der Form hat

wobei \(A^{(0)}(s)=A^{(0)}(s+c)\) periodische Funktionen sind, die durch die Invariantenbedingung auferlegte Differentialgleichungen erfüllen müssen

und kann als Verallgemeinerung der linearen Courant-Snyder-Funktionen \(\alpha _x\), \(\beta _x\) und \(\gamma _x\) für das nichtlineare Regime angesehen werden. Daher ist die vorgeschlagene Näherungsinvariante in Gl. (4) ist eine Verallgemeinerung der linearen Courant-Snyder-Invariante von Gl. (2). Diese Idee wurde in Referenzen23,25 vorgeschlagen, um chromatische Effekte in diesen Systemen zu behandeln, dh unter Berücksichtigung der Möglichkeit, dass die Teilchen einen Impuls p haben, der vom Entwurfsimpuls \(p_0\) abweicht. Es hat sich gezeigt, dass bei dieser Einbeziehung chromatischer Effekte die erhaltenen Ergebnisse gut mit denen übereinstimmen, die durch Simulationen mit numerischen Lösungen von Hamilton-Gleichungen erzielt wurden.

Das lineare System (1) ist relevant, da seine Invariante (2) gut verstanden ist; Somit ist es möglich, die Phasenraumstruktur des nichtlinearen Systems mit dem linearen Fall zu vergleichen, indem eine Erweiterung des Ausdrucks (2) verwendet wird. Darüber hinaus könnte diese Darstellung zur Entwicklung semianalytischer Werkzeuge verwendet werden, die im nichtlinearen Bereich, der im Beschleunigerentwurfsprozess behandelt wird, nützlich sein können.

Diese Erweiterung ermöglicht auch die Einführung chromatischer Effekte in den analytischen Rahmen, was ihre Nützlichkeit als Ergänzung innerhalb der Analyse von Hamilton-Systemen nahelegt, wie weiter unten diskutiert wird.

Der Ansatz zur Untersuchung der Elektronendynamik in diesen Systemen besteht normalerweise darin, den bekannten relativistischen Hamilton-Operator eines geladenen Teilchens in einem elektromagnetischen Feld, der ursprünglich im Laborsystem ausgedrückt wurde, in ein bewegtes Referenzsystem umzuwandeln. Nach dieser Koordinatenänderung wird eine Variablentransformation durchgeführt, die es ermöglicht, dass die Längskoordinate s anstelle der Zeit t die unabhängige Variable ist. Aus dem resultierenden Hamilton-Operator können die Bewegungsgleichungen erhalten werden; Diese Berechnungen sind Standardberechnungen und ihre Einzelheiten können in Referenz4 eingesehen werden. Unter bestimmten Umständen kann die Längsbewegung (s, \(p_s\)) von der Querbewegung (x, \(p_x\), y, \(p_y\)) entkoppelt werden, und es ist sogar möglich, die Querbewegung zu entkoppeln in eine horizontale (x, \(p_x\)) und eine vertikale Bewegung (y, \(p_y\)).

Lassen Sie uns einen allgemeineren Ausdruck des Hamilton-Operators verwenden, der in Gl. (3). Nach der Notation der Referenzen4,33 ein Hamilton-Operator der Form

beschreibt die Querdynamik von Teilchen in einem Synchrotron. Dieser Hamilton-Operator wurde häufig in vorläufigen dynamischen Aperturstudien4,34,35 in der ersten Phase des Speicherringdesigns verwendet.

Die Funktionen \( b_1 (s)\), \( b_2 (s)\) und \( b_3 (s)\) sind periodische Funktionen mit stückweise konstantem Verhalten, die jeweils die Krümmung der Dipole und die Intensitäten beschreiben die Quadrupole und Sextupole des Beschleunigers und \(\delta = \Delta p / p_0\), wobei \( \Delta p \) die Impulsabweichung in Bezug auf den Entwurfsimpuls \(p_0\) ist. \(b_1(s) = 1 / \rho \) (\(\rho \) ist der Krümmungsradius eines bestimmten Dipols) und die übrigen Parameter werden durch den folgenden Ausdruck34 angegeben

wobei \( B\rho \) die magnetische Steifigkeit ist, die Magnetfeld und Krümmungsradius mit der Energie eines relativistischen Elektrons über \(B\rho [Tm] = 3,3356\, E[GeV]\ verbindet). Wenn R außerdem der eingeschriebene Polradius ist, hängt \(b_n\) durch die Gleichung mit dem Polspitzenmagnetfeld \(B_{pt}\) (Abb. 1) zusammen

Dies ist sehr nützlich bei der Bestimmung von Feldern für das Magnetdesign.

In den Referenzen24 und 25 wurde vorgeschlagen, dass es sich um eine Quasi-Invariante der Form handelt

kann diesem Hamilton-Operator zugeordnet werden (Gl. (6)). Auch hier sind die chromatischen nichtlinearen Funktionen (\( n \ge 1 \)) periodisch, also \(A^{(n)}_{ijkl}(s)=A^{(n)}_{ijkl }(s+c)\). Bei der Berechnung für eine bestimmte Bogenlänge s erhalten diese Funktionen numerische Werte.

Gleichung (9) stellt eine nichtlineare Erweiterung der Courant-Snyder-Invariante dar, Gl. (2); was bedeutet, dass bis zu einem zweiten Grad, der niedrigsten Ordnung, nur die horizontalen Funktionen \(A^{(0)}_{ijkl}(s)\) von Null verschieden sind. Die Ersetzung von Gl. (9) in Ausdruck (5) führt zu einem System linearer Differentialgleichungen. Die Anzahl der Gleichungen hängt vom betrachteten Polynomgrad ab. In dieser Arbeit betrachten wir ein Polynom fünften Grades. Die sechzig aussagekräftigen zugehörigen Differentialgleichungen, die Nicht-Null-, nichtlinearen Funktionen in Bezug auf Impulsteilchen (\(\delta = 0\)) entsprechen, werden unten in den Gleichungen dargestellt. (10)–(18). Die Gleichungen. (10)–(12) wurden bereits in Referenz26 berücksichtigt.

Obwohl in Ref.26 Gleichungen für die nichtlinearen Funktionen \(A^{(1)}_{ijkl}(s)\) für \(\delta \ne 0\) vorgestellt wurden, kann dies zur Behandlung implementiert werden -Impulsteilchen haben wir nur \(A^{(0)}_{ijkl}(s)\) (Impuls) verwendet, um die Eignung des vorgeschlagenen Ansatzes für die Erzielung guter Ergebnisse bei der Optimierung der dynamischen Apertur zu untersuchen. Eine Erweiterung der Off-Momentum-Analyse ist im Gange.

Es ist möglich, die Längsbewegung in einen allgemeineren Hamilton-Operator zu integrieren und das quasi-invariante Protokoll im 6D-Raum erneut anzuwenden, wie dies mit anderen Methoden (TPSA/Tracking)36 geschieht. Dies geht jedoch über den Rahmen dieser Arbeit hinaus, da das 4D-System noch nicht entwickelt wurde.

Die Differentialgleichungen (10-18) für die \(A's\)-Funktionen und die Periodizitätsbedingungen \(A(s+c) = A(s)\), die durch das betrachtete magnetische Gitter (die spezifische Auswahl magnetischer Multipole) auferlegt werden im Ring) bestimmen die Werte der Funktionen A(s) in einer Periode, bei der es sich üblicherweise um eine Synchrotronzelle handelt. Der Synchrotronring besteht aus einem Verbund mehrerer dieser Zellen.

Beachten Sie, dass die Ausdrücke (10) die Gleichungen reproduzieren, die durch die Courant-Snyder-Parameter \(\alpha _x\), \(\beta _x\) und \(\gamma _x\) erfüllt werden, die der linearen Dynamik innewohnen; während Gl. (11) und (12) sind die Gleichungen der ersten nichtlinearen Nicht-Null-Funktionen in der Erweiterung (Gl. (9)), die erfüllt sein müssen, damit die Invariantenbedingung (Gl. (5)) erfüllt ist. Das Gleichungssystem (11) umfasst nur Funktionen, die mit der horizontalen Bewegung x im Beschleuniger verbunden sind, während die Funktionen des Gleichungssystems (12) die horizontalen und vertikalen Bewegungen koppeln. In allen Gleichungssystemen gibt es nur Funktionen \(A^{(0)}\), die Impulsteilchen beschreiben. Die algebraische Manipulation zum Erhalten dieser Gleichungen wurde mit wxMaxima37 durchgeführt.

Ein weiterer Punkt, der Aufmerksamkeit verdient, ist, dass die Menge der Funktionen in Gl. (10): \(A^{(0)}_{2000}\), \(A^{(0)}_{1100}\) und \(A^{(0)}_{0200}\ ) sind von wesentlicher Bedeutung. Reale und begrenzte Werte dieser Funktionen sind dank einer geeigneten Auswahl der Quadrupole im Gitter möglich, wohingegen die Verwendung ungeeigneter Werte zu einer Instabilität der linearen Lösung führen würde. Die Existenz von Nicht-Null-Werten von Funktionen höherer Ordnung, wie sie in den Gleichungen erscheinen. (11) und (12) entsteht aufgrund der Tatsache, dass die oben genannten Funktionen in den inhomogenen Teil der Gleichungen eingreifen und ihnen Werte ungleich Null verleihen. Analog erscheint in Gleichungen, die nichtlineare Funktionen enthalten, erstmals der sextupolare Beitrag \(b_3(s)\). Wenn dieser Beitrag Null wäre, würden die in den Gleichungen enthaltenen Funktionen gelten. (11) und (12) müssen Null sein, d. h. die quasiinvariante Gleichung. (9) wird auf die Courant-Snyder-Invariante von Gl. reduziert. (2).

Referenz 26 beschreibt das Verfahren zur Bestimmung der sechzig Werte der Funktionen \(A^{(0)}(s)\) bei \(s=0\), die in den Gleichungen erscheinen. (10)–(18), unterworfen periodischen Randbedingungen \(A^{(0)}_{ijkl}(0)=A^{(0)}_{ijkl}(0+c)\).

In dieser Arbeit wurde nur die mit der horizontalen Bewegung verbundene Quasi-Invariante untersucht, da die Schwingungsamplituden in der horizontalen Ebene größer sind als die in der vertikalen Ebene; Daher ist die Dynamik im horizontalen Phasenraum komplexer als im vertikalen Phasenraum.

Es ist bekannt, dass die in einem Beschleuniger enthaltenen quadrupolaren magnetischen Komponenten (im Allgemeinen dargestellt durch \( b_2(s)\) die impulslosen Teilchen (\( p_0 + \Delta p \)) anders als das Referenzteilchen beeinflussen Impuls \(p_0\). Dadurch ändert sich die Anzahl der Schwingungen in der horizontalen und vertikalen Ebene (Stimmungen \(\nu _x\), \(\nu _y\)) und weicht von den ursprünglichen Stimmungen \(\nu _{0x}\), \( ab. \nu _{0y}\) auf folgende Weise

wobei \(\xi _{x,y}\), die horizontalen und vertikalen Chromatizitäten, durch Ausdruck (20) unter Annahme von \(b_3(s)=0\) gegeben sind.

In einem Haufen haben Teilchen Energien, die sich von der Energie des Designs unterscheiden. Daher verleihen Quadrupole im Beschleuniger jedem Teilchen eine von seiner Energie abhängige Fokussierungskraft, wodurch ein chromatischer Effekt entsteht. Darüber hinaus hat jede Art von Feldunvollkommenheit in den Quadrupolen den gleichen Effekt auf die Elektronen, die sich auf ihren Umlaufbahnen bewegen (siehe Lit. 38).

Die Stabilität der Teilchen ohne Impuls erfordert, dass \(\xi _x\) und \(\xi _y\) nahe bei Null liegen, um die Abstimmung nahe am Arbeitspunkt zu halten, während kleine positive Werte erforderlich sind, um kollektive Resonanzen zu vermeiden. Um diese Anforderungen zu erfüllen, ist es notwendig, magnetische Sextupole \(b_3(s)\) in das Gitter einzuführen. Sextupole beeinflussen die Chromatizität in der Form34,39,40,41,42

Die Funktion \(\beta _y(s)\) spielt für die vertikale Bewegung eine ähnliche Rolle wie \(\beta _x(s)\) für den horizontalen Fall, und C ist der Umfang des vollen Speicherrings. \(\eta (s)\) ist als Dispersionsfunktion bekannt und quantifiziert, um wie viel sich die geschlossene Umlaufbahn von Partikeln ohne Impuls von der geschlossenen Umlaufbahn von Partikeln mit Impuls unterscheidet.

Synchrotronlichtquellen werden anhand der Eigenschaften des emittierten Lichts und der zu seiner Erzeugung verwendeten Geräte in Generationen eingeteilt. Die Komplexität der Strahldynamik nimmt mit jeder Generation zu, so dass neue Anlagen bessere Optimierungstechniken für eine überlegene Leistung erfordern. In dieser Arbeit wird ein typisches Gitter der dritten Generation verwendet, um einige relevante Aspekte unserer quasi-invarianten Methode zu untersuchen (siehe auch23,24,25), da unser Hauptziel darin besteht, seine Vorteile darzustellen.

Das unten dargestellte Speicherringmodell galt irgendwann als risikoarmes Schema für das mexikanische Projekt43. Es basiert auf dem ALBA-Gitter44 und kann aufgrund seines Emissionswerts von 1,3 nm\(\cdot \)rad als Lichtquelle der dritten Generation betrachtet werden. Seine linearen optischen Funktionen sind in Abb. 2 für eine halbe Superperiode dargestellt. Unten in der Abbildung sind DBA-Zellen dargestellt, wobei Dipole, Quadrupole und Sextupole jeweils in Blau, Rot und Grün dargestellt sind. Der komplette Ring hat 4 Superperioden; Jede Superperiode besteht aus sechs DBA-Zellen: zwei passenden Zellen an den Enden und vier Elementarzellen in der Mitte. In Abb. 1 sind die gesamte Anpassungszelle und eine halbe Elementarzelle detaillierter dargestellt, wobei die Magnetfelder jedes Magneten entsprechend dem Farbcode des Magneten dargestellt sind.

Magnetfelder der ersten Magnete sind in Abb. 2 dargestellt. Im unteren Teil der Abbildung entspricht der linke Magnetsatz, getrennt durch Drifträume, einer passenden Zelle. Der rechte Satz weist eine halbe Elementarzelle auf. Im oberen Teil der Abbildung sind die Feldstärken für die entsprechenden Dipole (blau), Quadrupole (rot) und Sextupole (grün) dargestellt. Diese Feldwerte hängen mit den Parametern \(b_n\) über Gleichung zusammen. (7).

Optische Funktionen einer halben Superperiode des ALBA-ähnlichen Gitters. Die Funktionen \(\beta _x(s)\) und \(\beta _y(s)\) sind blau bzw. rot markiert; und in Grün die Dispersionsfunktion \( \eta (s)\). Der untere Teil zeigt die Verteilung der Dipole (blau), Quadrupole (rot) und Sextupole (grün) der drei DBA-Zellen in einer halben Superperiode. Die untere grüne Textzeile zeigt die Zuordnung der verschiedenen Sextupole. Die andere Hälfte der Superperiode ist symmetrisch zur vertikalen Achse. Der Ring besteht aus vier Superperioden.

Sobald die Dipol- und Quadrupol-Magnetfelder festgelegt sind, werden die optischen Funktionen und Hauptparameter des Speicherrings bestimmt; Letztere sind in Tabelle 1 aufgeführt. Natürliche Chromatizitäten weisen darauf hin, dass die Sextupolintensitäten nicht sehr groß sein sollten. Daher sollten bei der Durchführung von Chromatizitätskorrekturen unerwünschte nichtlineare Phänomene minimal sein. Wir haben dieses einfache Gitter verwendet, um die Fähigkeit des quasi-invarianten Formalismus zu zeigen, das Einsetzen von Resonanzen zu verhindern und die dynamische Apertur von Synchrotrons zu erhöhen.

Der Mechanismus zum Finden der Wurzeln der quasi-invarianten Polynome wurde in Lit. 23,26 beschrieben, der Vollständigkeit dieser Arbeit halber jedoch die Methode zum Finden der Punkte (\(x,p_x\)), die dazu gehören ein Wert der Quasi-Invariante von Gl. (9) wird im Folgenden erläutert. Für \(p_x=0\), die Größe der anfänglichen Schwingungsamplitude \(x_0\), wird ein numerischer Wert der Quasi-Invariante durch den Courant-Snyder-Ausdruck als \(I=x_0^2/\gamma _x) erhalten \); in unserem Fall (\(\alpha _x=0\), da \(s_0=0\) ein Symmetriepunkt im Gitter ist). Der Zahlenwert von I wird für den nichtlinearen Fall beibehalten und anschließend die topologische Verformung des Phasenraums berechnet. Dann werden durch Scannen von x für jeden Wert von (\hbox {MATLAB}^{\circledR}\). Auf diese Weise erhält man eine Menge von Punkten \((x,p_{x1}),...,(x,p_{x5})\) für einen bestimmten Wert der Quasi-Invariante I. Durch Auftragen dieser Paare (\(x, p_x\)) im Phasenraum wird eine Folge benachbarter Punkte erhalten, die visuell so aussehen, als ob sie eine kontinuierliche Kurve bilden (interpolieren). Diese Sequenzen bilden das, was wir einen Zweig genannt haben.

Wenn sich ein Zweigpaar überlappt, enthält die Überlappungszone komplexe Wurzeln und die nicht überlappenden Teile bilden Inseln, was auf das Vorhandensein von Resonanzen hinweist. Wenn es keine solche Überlappung gibt, treten die Resonanzen nicht auf, wie in Ref. 26 beschrieben. Ein ähnliches Verfahren könnte durchgeführt werden, indem \(p_x\) gescannt und die Werte der x-Wurzeln des quasiinvarianten Polynoms ermittelt werden.

Sobald der Prozess der Resonanzentstehung identifiziert ist, geht es uns darum, die Resonanzbildung zu vermeiden und gleichzeitig die Schwingungsamplitude zu erhöhen. Damit kann die Methode einen Mechanismus zur Erhöhung der dynamischen Apertur des betrachteten Synchrotrons bereitstellen. Es ist ein Protokoll erforderlich, um die Wurzeln kontrolliert zu handhaben, da die nichtlinearen Elemente durch die numerische Optimierung der Zielfunktion geändert werden, Gl. (21).

Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, besteht darin, die echten Wurzeläste, die Resonanzen verursachen, abzutrennen und gleichzeitig die Amplitude der horizontalen Schwingung zu erhöhen. Dies wird größtenteils durch die Anforderung erreicht, dass die innersten Äste, die im Prinzip die deformierte Ellipse bilden, die größte Ähnlichkeit mit der Ellipse haben, die entsteht, wenn nichtlineare Elemente (Sextupole, Oktupole usw.) im Kalkül nicht vorhanden sind, d. h. lineare Dynamik . Mit diesem Verfahren wird ein nichtlinearer Phasenraum gezwungen, einem linearen zu ähneln, indem nahezu integrierbare Lösungen in einem begrenzten Bereich kleiner Amplituden gefunden werden.

Eine einfache Möglichkeit, eine Zielfunktion zu definieren, besteht darin, den Abstand zwischen den Zweigen reeller Wurzeln, die dem nichtlinearen Problem {\(p_x^{nl}\}\) entsprechen, und den Zweigen reeller Wurzeln, die dem linearen Problem {\( p_x^{ l}\}\); das sind die oberen und unteren Äste einer Ellipse, die man für das Referenzteilchen erhält, wenn man nur Dipole und Quadrupole berücksichtigt. Wenn wir N Punkte auf der x-Achse betrachten, haben die entsprechenden unteren und oberen Wurzeln die Kurzform {\(p_x(x_i), i=1\cdot \cdot \cdot N\}\). Dann werden die 2N Abstände zwischen den oberen Zweigen (u) und den unteren Zweigen (d) der beiden Systeme, linear und nichtlinear, addiert, um die Zielfunktion \(f_{obj}\) als zu definieren

Unter Minimierung von \(f_{obj}\) werden wir nach Lösungen des nichtlinearen Problems suchen, die dem linearen Problem möglichst nahe kommen. Wie bereits erwähnt, soll der nichtlineare Phasenraum für kleine Amplituden dem linearen Fall ähneln.

Die Definition von \(f_{obj}\) in Gl. (21) wird für das Referenzteilchen mit Impuls durchgeführt, d. .

Die im Ausdruck (21) definierte Zielfunktion berücksichtigt die Summe der Punkt-zu-Punkt-Abstände zwischen den linearen und nichtlinearen Trajektorien im Phasenraum. Da diese Abstände von den nichtlinearen Funktionen \(A^{0}(s)\) abhängen, werden die Terme, die den Phasenraum am stärksten verformen, am meisten bestraft. Da es sich um die einzige Funktion handelt, die optimiert werden soll, ist die Einbeziehung von Gewichten in das Problem nicht erforderlich. Wir betrachten dies als eine Stärke des Algorithmus und der Verwendung der Zielfunktion von Gl. (21).

Definiert man \(S=b_3/3\), sind die freien Parameter zur Optimierung

während die Sextupole

werden bei jeder Änderung an \(\{S\}_{free}\) durch den Optimierungsalgorithmus angepasst, um die Chromatizitäten nahe Null zu halten, \(\xi _{x,y} \sim 0\ ).

Schreiben wir die Vereinigung der obigen Mengen einfach als

Der anfängliche Satz \(S_0\) stammt aus den ersten Versuchen zu bestätigen, dass die quasi-invariante Methode zuverlässige Ergebnisse lieferte und mit der Partikelverfolgungssimulation kompatibel war. Es wurde in Ref.26 verwendet und hat die folgenden numerischen Werte

Abbildung 3 stellt die horizontale Phase entsprechend dem Anfangssatz \(\{S_0\}\) dar und zeigt die Resonanzen, die bei einer Schwingungsamplitude von \(x_0=1,53\) mm entstehen.

Horizontaler Phasenraum \((x,p_x)\) für den anfänglichen Satz von Sextupolen \(\{S_0\}\), gegeben durch Gl. (25). Die verwendeten Amplituden \(x_0\) sind 0,5, 0,75, 1,0, 1,25, 1,45, 1,53 mm. Dargestellt sind nur repräsentative Resonanzen und interne Tori. Die Einheiten im Diagramm sind m-rad.

Die Lage dieser Sextupole in der Elementarzelle des hier betrachteten Synchrotron-Spielzeugmodells ist in Abb. 2 in Grün zu sehen.

Die anfänglichen freien Werte \(\{S_0\}\) können im Allgemeinen als eine Menge kleiner, beliebiger Sextupolintensitäten ausgewählt werden, und die \(x_0\) müssen zunächst klein genug sein, um eine stabile Zone zu enthalten. Durch Erhöhen von \(x_0\) führt die Optimierung zu neuen Sätzen von Sextupolen mit größeren stabilen Zonen.

Der Optimierungsprozess wurde mit einem kleinen \(x_0\) begonnen, da die durch die Sextupole erzeugten nichtlinearen Effekte gering sind. Während des Optimierungsprozesses strebt der Algorithmus mit zunehmendem \(x_0\) danach, dass die Trajektorien im Phasenraum stabil sind. In dieser Phase beginnt ausgehend vom Sextupolsatz \(\{S_0\}\) die Suche nach einem Sextupolsatz, der die vorherige dynamische Apertur vergrößert; hier wird die Schwingungsamplitude mit \(x_0=7\) mm angenommen. Dies geschieht mithilfe genetischer Algorithmen45, die versuchen, die Zielfunktion \(f_{obj}\) zu minimieren. Andere Methoden wie Simplex der \(\hbox {MATLAB}^{\circledR}\)-Funktion fminsearch und Simulated Annealing könnten ebenfalls nützlich sein. Dieser Prozess ist in Abb. 4 dargestellt, wobei die vertikale Achse der relative Wert von \(f_{obj}\) in Bezug auf seinen Anfangswert \(f^{initial}_{obj}\) ist. Es ist zweckmäßig zu beachten, dass im Optimierungsprozess der Sextupole das Werteintervall der Zielfunktion (0,9859, 66,432) beträgt. In Abb. 4 ist jedoch nur der interessierende Bereich (\(f_{obj}/{f^{initial}_{obj}}) < 1\ dargestellt, in dem die Zielfunktion abnimmt. Die scheinbar kleine Verbesserung ist aufgrund der Tatsache, dass das anfängliche \(\{S_0\}\) eine Menge von Sextupolen war, die bereits einen kleinen Wert der Zielfunktion ergaben. Die horizontale Achse ist die kumulative CPU-Zeit (in Sekunden) des genetischen Algorithmus auf einem Pentium7-PC. Die Anzahl der an der Berechnung beteiligten Populationen betrug 14, und der Prozess konvergierte in etwa 1000 Generationen (Abb. 4).

Wie in Referenz26 ausführlich untersucht wurde, entstehen die Resonanzen, die in Abb. 3 erscheinen, wenn zwei Zweige realer Lösungen aus der für den nichtlinearen Fall vorgeschlagenen Quasi-Invariante (Gleichung (9)) überlappen und zu komplexen Lösungen werden. Die nicht überlappenden Bereiche bilden die Inseln der Resonanzen. Wenn der Optimierungsprozess auf der Suche nach neuen Sextupolen beginnt, die eine Vergrößerung der dynamischen Apertur ermöglichen, werden die genannten Zweige reeller Lösungen durch die numerische Änderung der \(\{S\}\)-Werte beeinflusst. Die Minimierung der Funktion \(f_{obj}\) (Gl. (21)) erfordert, dass der innere Zweig reeller Lösungen nahe an der entsprechenden Lösung des linearen Problems (Ellipse) liegt. Dieses Verhalten tritt auf, wenn die Dynamik des nichtlinearen Problems eine Vergrößerung der dynamischen Apertur zulässt; andernfalls überlappen sich die Wurzeln und erzeugen Resonanzen, die die Stabilität einschränken.

Diese Abbildung zeigt das Verhalten der in Gleichung definierten Zielfunktion \(f_{obj}\). (21) mit zunehmender Anzahl der Iterationen. Die vertikale Achse stellt den relativen Wert der Zielfunktion in Bezug auf ihren Anfangswert \(f^{initial}_{obj}\) dar und die horizontale Achse stellt die kumulative CPU-Zeit (in Sekunden) im Verlauf der Iterationen dar.

Abbildung 5 zeigt das Verhalten dieser beiden Zweige realer Lösungen (in Rot), wenn sich die Werte von S ändern. Der externe Zweig, der hauptsächlich im grünen Rechteck enthalten ist, weist ein unregelmäßigeres Verhalten auf als der interne Zweig und im Allgemeinen trennt sich der externe Zweig während des Optimierungsprozesses vom internen Zweig. Es wird erwartet, dass \(p_x\) einen höheren Grad an Unsicherheit aufweist, je weiter eine Polynomlösung vom Ursprung des Phasenraums entfernt ist. Die Partikelverfolgungssimulation zeigt die Übereinstimmung beim Vergleich der mit der vorgeschlagenen Methode erzielten Ergebnisse mit der Simulation, selbst für große Schwingungsamplituden, wie später gezeigt wird. Als Ziel der Optimierungsmethode wird die lineare Problemellipse verwendet. Es ist ersichtlich, dass der innere Zweig realer Lösungen dazu neigt, sich der blauen Kurve zu nähern, die die Trajektorie darstellt, die der Courant-Snyder-Invariante für das lineare Problem entspricht27. Letzteres ist in Abb. 6 detaillierter zu erkennen, wo neben der blauen Ellipse ein Band realer Lösungen in Rot zu sehen ist. Am Ende des Optimierungsprozesses ist die reale nichtlineare Lösung, die der linearen Lösung am nächsten kommt, diejenige mit einem Mindestwert von \(f_{obj}\). Dies wird in der nächsten Optimierungsstufe deutlicher.

Phasenraum \((x,p_x)\), der die Entwicklung der beiden realen Lösungen (in Rot) während des Optimierungsprozesses der Zielfunktion zeigt (wenn sich die Werte von \(\{S\}\) ändern). Die Ellipse, die der Courant-Snyder-Invariante des linearen Problems entspricht, ist zum Vergleich blau dargestellt; Es ist das Ziel der Optimierungsmethode. Die horizontalen blauen Linien für \(p_x\) = 0 stellen den Realteil von \(p_x\) dar, während der Imaginärteil in der Abbildung nicht dargestellt ist, d. h. \(p_x\) ist eine rein imaginäre Zahl. Die äußeren Zweige befinden sich hauptsächlich im grünen Rechteck und entsprechen mehreren \(\{S\}\)-Werten für die einzelne Invariante, die im Optimierungsprozess der zweiten Stufe (Abschnitt III.E) verwendet wird.

Phasenraum \((x,p_x)\), der die ursprünglichen Resonanzen und detaillierter als in Abb. 5 das Verhalten der inneren realen Wurzeln (in Rot) zeigt, die versuchen, die Ellipse (blau) der linearen Dynamik darunter anzupassen der Optimierungsprozess der Zielfunktion. Die Einheiten im Diagramm sind m-rad.

Das obige Verfahren ermöglicht es, den Wert neuer Sextupole \(\{S_1\}\) zu ermitteln, die \(f_{obj}\) minimieren, wie in Abb. 4 gezeigt. Die neuen \(\{S\}\)-Werte sind :

wobei die Reihenfolge der \(\{S_1\}\)-Werte mit der in Gleichung verwendeten übereinstimmt. (24). Wie zuvor werden für jede freie Parameterwahl \(\{S_1\}_{free}\) zwei chromatische Sextupole \(\{S_1\}_{chrom}\) bestimmt, die es ermöglichen, die Chromatizitäten nahe Null zu halten. Der folgende Abschnitt befasst sich mit den Implikationen eines neuen Satzes von Sextupolen \(\{S_1\}\) in der nichtlinearen Dynamik, die im Phasenraum (\(x,p_x\)) beschrieben wird. Wenn dieser Satz von Sextupolen verwendet wird, zeigt der Phasenraum von Abb. 7, dass der Stabilitätsbereich von \(\sim 2\) mm auf \(\sim 6-7\) mm anwächst, da Resonanzen niedriger Ordnung aufgetreten sind in dieser Region gehemmt.

Phasenraum \((x,p_x)\) für verschiedene Schwingungsamplituden \(x_0=1,53, 3, 4, 5, 6, 7\) mm. Mit den neuen Sextupolen \(\{S_1\}\), die durch Optimierung auf \(x_0=7\) mm erhalten werden, wird die dynamische Apertur untersucht und es wird beobachtet, dass sie auf \(\sim 6-7\) mm ansteigt , bevor Tori zu brechen beginnt. Für jeden Wert der Quasi-Invariante werden der innere Zweig und der entsprechende äußere Zweig in derselben Graustufenfarbe dargestellt. Die Einheiten im Diagramm sind m-Rad.

Jetzt untersuchen wir die Möglichkeit, die Stabilitätszone durch eine neue Optimierung der Sextupole weiter zu vergrößern. Diese Stufe wird bei einer höheren Schwingungsamplitude, \(x_0=10\) mm, durchgeführt, wobei \(\{S_1\}\) als anfänglicher Satz von Sextupolen für diese Stufe des Optimierungsprozesses verwendet wird, und zwar nach den gleichen Richtlinien wie die vorherige Optimierung bei \( x_0=7\) mm.

Die inneren und äußeren Zweige reeller Lösungen, die einen kleineren Wert der Zielfunktion \(f_{obj}\) ergeben, sind in Abb. 8 schwarz dargestellt. Sie stellen das Endergebnis der Optimierung für die Invariante entsprechend \(x_0) dar =10\) mm. Zwei der Zweige reeller Lösungen (innere Zweige) liegen nahe an der Courant-Snyder-Invariante, dargestellt durch die blaue Ellipse. Die anderen beiden Zweige (äußere Zweige) sind jetzt weit von den inneren Zweigen entfernt, was bedeutet, dass die Möglichkeit, durch Überlappung Resonanzen niedriger Ordnung zu erzeugen, durch den Optimierungsprozess verringert wurde und auf diese Weise die Stabilitätszone aufgrund einer besseren Auswahl vergrößert wurde der Sextupole gesetzt. Wir sehen, dass die inneren schwarzen Zweige einer Ellipse ähneln, wie in Gl. gefordert. (21) von \(f_{obj}\). Das Detail dieses Verhaltens wird in Abb. 9 deutlicher, wo ein Bündel von Zwischenlösungen des nichtlinearen Problems im Optimierungsprozess in Rot dargestellt ist. Die schwarze Lösung ist die beste Annäherung an die lineare Lösung in Blau. Die am Ende dieser Stufe erhaltene Menge \(\{S_2\}\) der Sextupole ist

Zum Vergleich sind die in Abb. 9 dargestellten grauen Kurven wiederum diejenigen, die in Abb. 7 für die Optimierung \(\{S_1\}\) dargestellt sind.

Struktur des Phasenraums \((x,p_x)\) am Ende der dritten Optimierungsprozessstufe der Sextupolmenge. Die schwarzen Kurven werden als Zweige reeller Wurzellösungen erhalten, die einen Mindestwert von \(f_{obj}\) ergeben. Ausgehend von den Sextupolen \(\{S_1\}\), die die Zielfunktion \(f_{obj}\) mit der Amplitude \(x_0=7\) mm optimiert hatten, wurde ein neuer Satz von Sextupolen \(\{S_{ 2}\}\) wird gefunden, wenn \(x_0=10\) mm verwendet wird. Bei den neuen Sextupolen \(\{S_{2}\}\) (Gl. (27)) sind keine Resonanzen niedriger Ordnung vorhanden, da die realen Lösungszweige durch den Optimierungsprozess getrennt wurden, wenn gefordert wurde, dass die inneren Zweige nahe beieinander liegen zur Courant-Snyder-Ellipse, in Blau. Die dynamische Apertur liegt nun bei über 10 mm. Die Einheiten im Diagramm sind m-Rad.

Vergrößerung des Phasenraums \((x,p_x)\) von Abb. 8, der die Menge der inneren Zweige (rot) des nichtlinearen Problems detaillierter darstellt. Dabei handelt es sich um Zwischenlösungen im Optimierungsprozess, aus denen die Sextupole entstehen, die die Zielfunktion \(f_{obj}\) minimieren. Mit den neuen Sextupolen \(\{S_{2}\}\), die durch Optimierung bei 10 mm erhalten wurden, sehen wir, dass die geschätzte dynamische Apertur (schwarz) über 10 mm hinaus gewachsen ist. Die schwarze Lösung ist gemäß der Courant-Snyder-Invariante die beste Näherung an die Ellipse (blau), die die lineare Lösung darstellt. Die Grautonkurven zeigen die Struktur des zugrunde liegenden Phasenraums (Abb. 7) vor der neuen Optimierung mit \(x_0=10\) mm.

Der nächste zu untersuchende Punkt ist die Erhöhung der dynamischen Apertur, die mit der \(\{S_2\}\)-Optimierung erreicht wird. Hierzu werden unterschiedliche Werte der Schwingungsamplitude \(x_0\) verwendet, die die in Abb. 10 gezeigten Trajektorien erzeugen. Wir stellen fest, dass geschlossene Trajektorien bei etwa 17 mm aufzubrechen beginnen, obwohl Ergebnisse aus der Quasi-Invariante gefunden wurden um die dynamische Apertur im Vergleich zu der durch Tracking-Simulation erhaltenen zu überschätzen26.

Struktur des Phasenraums \((x,p_x)\), die die dynamische Apertur zeigt, die mit der quasi-invarianten Methode nach Optimierung bei \(x_0=10\) mm geschätzt wurde, mit dem Satz von Sextupolen \(\{S_{2 }\}\). Die quasi-invariante Methode sagt Stabilität für Amplituden in der Größenordnung von 15 mm voraus. Zu Vergleichszwecken ist die Resonanzstruktur (Abb. 3), die durch den anfänglichen Satz \(\{S_0\}\) von Sextupolen bereitgestellt wird, schwarz dargestellt.

Wie lassen sich die mit Quasi-Invarianten erzielten theoretischen Ergebnisse mit denen der Partikelverfolgungssimulation von OPA vergleichen? Bei Verwendung der Sextupolmenge \(\{S_2\}\) in OPA ist die gute Übereinstimmung zwischen beiden Schemata bemerkenswert. Dies ist in Abb. 11 dargestellt, die den Phasenraum (\(x,p_x\)) für Impulsteilchen (\(\delta =0\)) darstellt. In Blau sind mehrere mit OPA berechnete Trajektorien mit unterschiedlichen Amplituden dargestellt. Es werden keine Resonanzen niedriger Ordnung beobachtet, die bei Synchrotronlichtquellen ein großes Problem darstellen. Die in Abb. 11 gezeigte dynamische Apertur in der Größenordnung von 15 mm bestätigt, dass die Methode der Quasi-Invarianten eine gute Vorhersage der dynamischen Apertur liefert. Um diese Übereinstimmung deutlich zu machen, sind die Kurven in Abb. 10 in schwachem Rot überlagert.

Struktur des Phasenraums \((x,p_x)\) gemäß OPA-Teilchenverfolgungssimulation (blau), die eine gute Übereinstimmung mit der dynamischen Apertur zeigt, die mit der quasi-invarianten Methode erhalten wurde (schwaches Rot überlagert, Abb. 10). Beide Berechnungen wurden unter Verwendung des Sextupolsatzes \(\{S_2\}\) für Impulsteilchen (\(\delta =0\)) durchgeführt.

Obwohl diese Arbeit den Formalismus im Zusammenhang mit Off-Impuls-Teilchen \((\delta \ne 0)\) nicht berücksichtigt, sehen wir interessanterweise, dass der entsprechende Phasenraum, in diesem Fall durch Partikelverfolgungssimulation mit OPA bereitgestellt, dies ebenfalls zu tun scheint folgen der Trägheit einer linearen Dynamik, zu der impulsbehaftete Teilchen mit einem kleinen Wert der Zielfunktion \(f_{obj}\) gezwungen werden. Das heißt, es besteht eine gewisse Übertragbarkeit der Stabilität des betrachteten Phasenraums, wenn man von \(\delta =0\) nach \(\delta \ne 0\) geht. Dieser Vorgang wird in den folgenden sechs Abbildungen (Abb. 12, 13, 14, 15, 16, 17) beobachtet, berechnet mit der Sextupolmenge \(\{S_2\}\), für eine Impulsabweichung \(\delta = -3,- 2,-1,1,2\) und \(3 \%\). Dies ist überraschend, da keine Optimierung mit Impulsabweichung \(\delta \ne 0\) durchgeführt wurde.

Die Ursprungsverschiebung in Abb. 12, 13, 14, 15, 16, 17 steht im Einklang mit der Verschiebung der geschlossenen Umlaufbahn ohne Impuls, die durch \(\eta \delta \) für einen Wert von \(\eta =0,2039\) m gegeben ist, was der ist Dispersionswert in den geraden Abschnitten für unser Spielzeugmodell-Synchrotron.

Struktur des Phasenraums \((x,p_x)\) für \(\delta =-1\%\), wenn verschiedene Anfangsbedingungen für die Partikelverfolgungssimulation in OPA verwendet werden, unter Verwendung des Satzes von Sextupolen \(\{S_2\} \).

Struktur des Phasenraums \((x,p_x)\) für \(\delta =-2\%\), wenn verschiedene Anfangsbedingungen für die Partikelverfolgungssimulation in OPA verwendet werden, unter Verwendung des Satzes von Sextupolen \(\{S_2\} \).

Struktur des Phasenraums \((x,p_x)\) für \(\delta =-3\%\), wenn verschiedene Anfangsbedingungen für die Partikelverfolgungssimulation in OPA verwendet werden, unter Verwendung des Satzes von Sextupolen \(\{S_2\} \).

Struktur des Phasenraums \((x,p_x)\) für \(\delta =1\%\), wenn verschiedene Anfangsbedingungen für die Partikelverfolgungssimulation in OPA verwendet werden, unter Verwendung des Satzes von Sextupolen \(\{S_2\}\ ).

Struktur des Phasenraums \((x,p_x)\) für \(\delta =2\%\), wenn verschiedene Anfangsbedingungen für die Partikelverfolgungssimulation in OPA verwendet werden, unter Verwendung des Satzes von Sextupolen \(\{S_2\}\ ).

Struktur des Phasenraums \((x,p_x)\) für \(\delta =3\%\), wenn verschiedene Anfangsbedingungen für die Partikelverfolgungssimulation in OPA verwendet werden, unter Verwendung des Satzes von Sextupolen \(\{S_2\}\ ).

In den vorherigen Abschnitten wurden Phasenraumflächenergebnisse durch Optimierungen unter Verwendung der in Gleichung definierten Quasi-Invariante erhalten. (9), durchgeführt bei den Amplitudenwerten \(x_0=7\) und 10 mm. Was derzeit untersucht wird, ist die Möglichkeit, den Wert von \(x_0\) weiter zu erhöhen. Eine neue Optimierung wird bei \(x_0=12\) mm durchgeführt und es wird gezeigt, dass die Zunahme der dynamischen Apertur unbedeutend ist, was darauf hindeutet, dass die nichtlineare Dynamik des betrachteten Synchrotrons keine größere Zunahme der dynamischen Apertur zulässt, und/ oder die Beschreibung der Quasi-Invariante wird mit zunehmender Amplitude \(x_0\) ungenauer (der Grad des betrachteten Polynoms ist nicht groß genug). In Abb. 18 ist dieser Vorgang dargestellt. Die Optimierung bei 10 mm in Abb. 11 ist in schwachem Blau dargestellt, während eine neue Berechnung (dunkelblau, überlagert) durch den Optimierungsprozess mit einer Amplitude von 12 mm erhalten wird. Abbildung 11 wurde mit dem Satz von Sextupolen \(\{S_2\}\) erhalten, während diese dunkelblaue Figur mit dem neuen Satz von Sextupolen \(\{S_3\}\) erstellt wurde, gezeigt in Gl. (28), beide, für Impulsteilchen (\(\delta =0\)). Beim Vergleich beider Ergebnisse wird beobachtet, dass die äußere Inselkette hoher Ordnung (blassblau) gehemmt ist. Es erscheinen neue KAM-Tori, die den stabilen Bereich des Phasenraums geringfügig erweitern. Es ist interessant festzustellen, dass sich die neue Auswahl \(\{S_3\}\) weniger als \(<2\%\) von \(\{S_2\}\) unterscheidet, was eine Feinanpassung der Sextupolintensitäten darstellt. Der Effekt ist deutlich geringer als bei einer Vergrößerung von 7 auf 10 mm. Dies deutet darauf hin, dass die Optimierungsgrenze erreicht ist.

Struktur des Phasenraums \((x,p_x)\) gemäß der Partikelverfolgungssimulation von OPA (dunkelblau), durchgeführt mit dem \(\{S_3\}\)-Satz von Sextupolen, der für eine 12-mm-Amplitudenoptimierung erhalten wurde. In schwachem Blau (Hintergrund) ist die Optimierung bei 10 mm in Abb. 11 dargestellt. In der neuen Berechnung (dunkelblau) zeigt sich eine leichte Vergrößerung der Phasenraumfläche. Beide Strukturen (blau, dunkel und schwach) im Phasenraum gelten für Teilchen im Impuls (\(\delta = 0\)).

Für ein in einer Dimension dargestelltes Synchrotron sind die erhaltenen Ergebnisse ein klarer Hinweis auf die Robustheit des quasi-invarianten Konzepts und seine Verwendung zur Vergrößerung der dynamischen Apertur des Synchrotrons, was erfordert, dass die Topologien des Phasenraums eines nichtlinearen und eines linearen Systems ähnlich sind in einem begrenzten Bereich kleiner Schwingungsamplituden. Der mathematische Formalismus dieser Idee kann auf höhere Dimensionen erweitert werden, um Designs mit geringer Emission zu erzielen.

Obwohl in dieser Arbeit nicht analysiert, ist es auch bemerkenswert, dass Studien mit Quasi-Invarianten eine große amplitudenabhängige Melodiestreuung berichten20. Daher wird erwartet, dass mit unserer Technik Resonanzlinien, wahrscheinlich höherer Ordnung, aufgrund ihrer schmalen Stoppbandbreiten ohne merkliche Auswirkungen überquert werden können.

Diese Arbeit wurde durch die steigenden Anforderungen bei der Optimierung der magnetischen Gitter von Synchrotronlichtquellen motiviert, um den wachsenden Bedürfnissen der Nutzer von Synchrotronstrahlung, wie z. B. erhöhter Helligkeit und Kohärenz, gerecht zu werden. Von anderen Autoren entwickelte Methoden waren für die Bewältigung des nichtlinearen Problems von wesentlicher Bedeutung, einige von ihnen erfordern eine große Kapazität an Rechenressourcen. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass das auf einer polynomischen Quasi-Invariante basierende Schema eine dynamische Aperturoptimierungstechnik ist, die komplementär zu Methoden ist, die resonante Terme oder eine Partikelverfolgungssimulation mit vielen Windungen verwenden9. Die mit den Quasi-Invarianten erreichte Präzision reicht aus, um eine dynamische Apertur zu erreichen, die mit numerischen Tracking-Ergebnissen kompatibel ist. Mit diesen Ideen stellen wir einen weiteren Mechanismus vor und erforschen ihn, der nützlich ist, um Lösungen zu finden, die es ermöglichen, das Verständnis dynamischer Prozesse in Synchrotrons voranzutreiben. Der vorgeschlagene Algorithmus erfordert die Konstruktion einer Quasi-Invariante der Bewegung, deren Verwendung in einem eingeschränkten Phasenraumbereich einschließlich seines Ursprungs gültig ist, in dem der Elektronenstrahl stabil sein sollte. Es wurden ein quasi-invarianter Mechanismus und eine Zielfunktion untersucht, die es ermöglicht, den Beginn von Resonanzen zu manipulieren und dadurch die dynamische Apertur eines bestimmten Synchrotrondesigns zu erhöhen. Im Stabilitätsbereich scheint die Ähnlichkeit zwischen der Phasenraumtopologie eines nichtlinearen Systems und der des linearen Systems ein Schlüssel zum Erreichen guter Ergebnisse bei der Vergrößerung der dynamischen Apertur zu sein. Die erhaltenen Ergebnisse wurden durch Vergleich mit Partikelverfolgungssimulationen validiert, wobei verfügbare Software im Bereich der Beschleunigerphysik zum Einsatz kam. Die numerischen Ergebnisse zeigen, dass die vorgeschlagene Methode als geeignetes Schema zur Erhöhung der dynamischen Apertur im eindimensional untersuchten Modell verwendet werden kann. Die Methodik kann leicht auf zwei Dimensionen erweitert werden, indem eine zweite Quasi-Invariante erstellt wird, wodurch die dynamische Apertur des zweidimensionalen nichtlinearen Problems erhöht werden kann, ein Phänomen, das bei Lichtquellen der vierten Generation recht restriktiv ist. In dieser Richtung wird weiter gearbeitet.

Die während der aktuellen Studie generierten oder analysierten Daten sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

Einfeld, D., Schaper, J. & Plesko, M. Ein Gitterdesign zum Erreichen der theoretischen Mindestemission für einen Speicherring. in Proceedings of the EPAC96, 638 (1996).

Mobilio, S., Boscherini, F. & Meneghini, EC Synchrotronstrahlung: Grundlagen. Methoden und Anwendungen. Springer, New York. https://doi.org/10.1007/978-3-642-55315-8 (2015).

Sajaev, MBV, Emery, L. & Xiao, A. Multiobjektive direkte Optimierung der dynamischen Akzeptanz und Lebensdauer für mögliche Upgrades der fortschrittlichen Photonenquelle. ANL/APS/ Bd. LS-319 (2010).

Bengtsson, J. Das Sextupolschema für die Schweizer Lichtquelle (SLS): Ein analytischer Ansatz. https://ados.web.psi.ch/slsnotes/sls0997.pdf (1997).

Soutome, K. & Tanaka, H. Formeln höherer Ordnung einer amplitudenabhängigen Stimmungsverschiebung, die durch eine Sextupol-Magnetfeldverteilung verursacht wird. Physik. Rev. Accel. Balken 20, 064001 (2017).

Artikel ADS Google Scholar

Brown, KL, Belbeoch, R. & Bounin, P. Magnetische optische Matrixgleichungen erster und zweiter Ordnung für die Mittelebene von Keilmagneten mit gleichmäßigem Feld. Rev. Sci. Instrument. 35, 481 https://doi.org/10.1063/1.171885.

Douglas, DR & Dragt, AJ Lie algebraische Methoden für Partikelverfolgungsberechnungen. Proz. 12. Int. Konf. Hochenergiebeschleunigung. 32, 139 (1983).

Google Scholar

Papaphilippou, Y. Erkennung von Chaos in Teilchenbeschleunigern durch die Methode der Frequenzkartenanalyse. Chaos: Interdisziplinär. J. Nichtlineare Wissenschaft. 24(2), 024412. https://doi.org/10.1063/1.4884495 (2014).

Artikel Google Scholar

Borland, M. Elegant: Ein flexibler SDDS-kompatibler Code für die Beschleunigersimulation. Adv. Photonenquelle. Bd. LS-287, (2000).

Gao, W., Wang, L. & Li, W. Gleichzeitige Optimierung der Strahlemission und der dynamischen Apertur für einen Elektronenspeicherring mithilfe eines genetischen Algorithmus. Physik. Rev. ST Accel. Balken 14, 094001 (2011).

Artikel ADS Google Scholar

Kranjčević, M., Riemann, B., Adelmann, A. & Streun, A. Multiobjektive Optimierung der dynamischen Apertur unter Verwendung von Ersatzmodellen auf Basis künstlicher neuronaler Netze. Physik. Rev. Accel. Balken 24, 014601. https://doi.org/10.1103/PhysRevAccelBeams.24.014601 (2021).

Artikel ADS Google Scholar

Sun, Y. & Borland, M. Vergleich nichtlinearer Dynamikoptimierungsmethoden für aps-u. in Proceedings of 2nd North American Particle Accelerator Conference, S. WEPOB15 (2016).

Li, Y. & Yu, L.-H. Verwendung einer quadratischen Matrix zur Realisierung der Phasenraummanipulation und dynamischen Aperturoptimierung. in Proceedings of 2nd North American Particle Accelerator Conference, S. TUPOB54, (2016).

Yang, L., Li, Y., Guo, W. & Krinsky, S. Multiobjektive Optimierung der dynamischen Apertur. Physik. Rev. Spec. Spitze. Beschleunigung. Balken 14, 054001 (2011).

Artikel ADS Google Scholar

Antipov, S. et al. Iota (Testbeschleuniger für integrierbare Optik): Anlage und experimentelles Strahlphysikprogramm. J. Instrument. 12, T03002. https://doi.org/10.1088/1748-0221/12/03/t03002 (2017).

Artikel CAS Google Scholar

Danilov, V. & Nagaitsev, S. Nichtlineare Beschleunigergitter mit einer und zwei analytischen Invarianten. Physik. Rev. Spec. Spitze. Accel Beams 13, 084002 (2010).

Artikel ADS Google Scholar

Antipov, S., Nagaitsev, S. & Valishev, A. Einzelteilchendynamik in einem nichtlinearen Beschleunigergitter: Erreichen einer großen Tune-Spreizung mit Oktupolen in Jota. JINST 12, P04008 (2017).

Artikel ADS Google Scholar

Webb, S., Cook, N. & Eldred, J. Gemittelte Invarianten in Speicherringen mit Synchrotronbewegung. J. Instrument. 15, 12032. https://doi.org/10.1088/1748-0221/15/12/p12032 (2020).

Artikel Google Scholar

Warnock, RL, Berg, JS & Forest, E. Schnelle symplektische Kartierung und Quasi-Invarianten für den Large Hadron Collider. Proz. Teilchenbeschleunigung. Konf. 5, 2804–2806. https://doi.org/10.1109/PAC.1995.505699 (1995).

Artikel ADS Google Scholar

Li, Y. et al. Entwurf von doppelt gekrümmten und mehrfach gekrümmten Achromatgittern mit großer dynamischer Apertur und angenäherten Invarianten. Physik. Rev. Accel. Balken 24, (2021).

Gabella, WE, Ruth, RD & Warnock, RL Iterative Bestimmung invarianter Tori für einen zeitperiodischen Hamilton-Operator mit zwei Freiheitsgraden. Physik. Rev. A 46(6), 3493 (1992).

Artikel ADS CAS Google Scholar

Li, Y., Cheng, W., Yu, LH & Rainer, R. Genetischer Algorithmus, verbessert durch maschinelles Lernen bei der dynamischen Aperturoptimierung. Physik. Rev. Accel. Balken 21, (2018).

Antillón, A. Emittanz für eine nichtlineare Maschine: das eindimensionale Problem. Teil. Beschleunigung. 23, 187–195 (1988).

Google Scholar

Antillón, A., Forest, E., Hoeneisen, B. & Leyvraz, F. Transportmatrizen für nichtlineare Gitterfunktionen. Nukl. Instrument. Methoden Phys. Res., Abschn. A 305(2), 247–256. https://doi.org/10.1016/0168-9002(91)90544-Z (1991).

Artikel ADS Google Scholar

Antillón, A. & Hoeneisen, B. Emission einer nichtlinearen Maschine: das zweidimensionale Problem. Nukl. Instrument. Methoden Phys. Res., Abschn. A 305(2), 239–246. https://doi.org/10.1016/0168-9002(91)90543-Y (1991).

Artikel ADS Google Scholar

Sanchez, EA, Flores, A., Hernandez-Cobos, J., Moreno, M. & Antillón, A. Einsetzen von Resonanzen durch überlappende Wurzeln unter Verwendung von Quasi-Invarianten in der nichtlinearen Beschleunigerdynamik. Nichtlineare Dyn. Angenommen (2022).

Courant, E. & Snyder, H. Theorie des Wechselgradienten-Synchrotrons. Ann. Physik. 3(1), 1–48. https://doi.org/10.1016/0003-4916(58)90012-5 (1958).

Artikel ADS MATH Google Scholar

Dimper, R., Reichert, H., Raimondi, P., Ortiz, LS, Sette, F. & Susini, J. ESRF-Upgrade-Programm Phase II (2015–2022). https://www.esrf.fr/Apache_Files/Upgrade/ESRF-orange-book.pdf (2014).

Aiba, M. et al. SLS-2 Conceptual Design Report. PSI-Bericht 17-03, Editor: Andreas Streun (2017).

Herr, W. & Forest, E. Nichtlineare Dynamik in Beschleunigern. in Particle Physics Reference Library: Band 3: Accelerators and Colliders (S. Myers und H. Schopper, Hrsg.), S. 51–104, Springer International Publishing, 2020. https://doi.org/10.1007/978-3 -030-34245-6_3.

Suzuki, T. Hamiltonsche Formulierung für Synchrotronschwingungen und Sacherers Integralgleichung. Teilchenbeschleunigung. 12, 237–246 (1982). http://cds.cern.ch/record/139498/files/p237.pdf.

Stupakov, G. Vorlesungsskript zur klassischen Mechanik und zum Elektromagnetismus in der Beschleunigerphysik. https://jseldredphysics.files.wordpress.com/2018/03/stupakov-notes-2011.pdf (2011).

Bengtsson, J. & Streun, A. Robuste Designstrategie für SLS-2. https://wiki.classe.cornell.edu/pub/CBB/RDTProject/SLS2-BJ84-001.pdf (2017).

Streun, A. Experimentelle Methoden der Teilchenphysik Teilchenbeschleuniger. https://ipnp.cz/~dolezal/teach/accel/talks/empp.pdf.

Cai, Y. Singularität und Stabilität in einem periodischen System von Teilchenbeschleunigern. https://www.slac.stanford.edu/pubs/slacpubs/17250/slac-pub-17251.pdf (2018).

Fjellström, M. Teilchenverfolgung in Kreisbeschleunigern unter Verwendung des exakten Hamilton-Operators in Sixtrack. CERN-THESIS-2013-248 (2013). https://inspirehep.net/files/74c88492a8d6a790563d145198c4813d.

wxMaxima, https://wxmaxima.sourceforge.net/, wxMaxima, Version 22.03.0, (2022).

Sands, M. Physik von Elektronenspeicherringen: Eine Einführung. Technik. Vertreter, Stanford Linear Accelerator Center, CA (1970).

Ohnuma, S. Auswirkungen von Korrektursextupolen in Synchrotrons. AIP-Konferenz. Proz. 123, 415–423. https://doi.org/10.1063/1.34886 (1984).

Artikel ADS CAS Google Scholar

Cornacchia, M. Gitter für Synchrotronstrahlungsquellen. SLAC-PUB-6459, p. 16 (1994).

Levichev, EB Elektronenspeicherringe mit niedriger Emission. Physik. Usp. 61, 29. https://doi.org/10.3367/ufne.2016.12.038014 (2018).

Artikel ADS CAS Google Scholar

Steinhagen, RJ Tune- und Chromatizitätsdiagnostik. CERN S. 324 (2009). https://cds.cern.ch/record/1213281/files/p317.pdf.

Antillón, A., et al., Nationales Labor für Beschleuniger und Synchrotronlicht: Entwurfsphase und Prototypen. https://www.fisica.unam.mx/sincrotron/fomix/PDFs/Vol1.pdf (2015).

Muňoz, M. & Einfeld, D. Optik für die Alba-Lichtquelle. Proz. PAC 2005, Knoxville, Tennessee, S. 3777–3779 (2005).

Yang, X.-S. Von der Natur inspirierte Optimierungsalgorithmen. Academic Press, Cambridge (2020).

Referenzen herunterladen

Diese Arbeit wurde von UNAM-PAPIIT IN108522 und CONACYT CF-2023-I-119 unterstützt. EAS dankt CONACYT für die Finanzierung eines Postdoktorandenstipendiums.

Institut für Physikalische Wissenschaften, Nationale Autonome Universität von Mexiko, Av. Universidad 1001, Col. Chamilpa, Cuernavaca, Morelos, 62210, Mexiko

Edgar Andrés Sánchez, Jorge Hernández-Cobos und Armando Antillón

Abteilung für Bioingenieurwesen und Naturwissenschaften, Tecnológico de Monterrey, Puebla, 72453, Mexiko

Alain Flores

Abteilung für Theoretische Physik, Institut für Physik, Nationale Autonome Universität von Mexiko, Mexiko-Stadt, 04510, Mexiko

Matias Moreno

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EAS, AF, JH-C., MM und AA konzipierten diese Forschung, analysierten und interpretierten die Ergebnisse, schrieben Computercodes, erstellten Abbildungen und verfassten und überarbeiteten das Manuskript.

Korrespondenz mit Armando Antillón.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Sánchez, EA, Flores, A., Hernández-Cobos, J. et al. Erhöhung der Strahlstabilitätszone in Synchrotronlichtquellen unter Verwendung polynomialer Quasi-Invarianten. Sci Rep 13, 1335 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-27732-y

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Eingegangen: 24. Juli 2022

Angenommen: 06. Januar 2023

Veröffentlicht: 24. Januar 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-27732-y

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